Как Архимед помог царю Гиерону не дать себя обмануть

Но плотность позволяет не только найти массу предмета, который нам сложно взвесить, если мы знаем его объём.

А ещё с помощью неё мы можем убедиться, что наш предмет именно из того вещества, которое мы предполагаем.

Графическая версия истории

Царь Гиерон:

— Архимед, кажется, у меня для тебя есть задачка!

— Я тут нашему ювелиру дал слиток золота и попросил изготовить для меня корону!

— Только меня теперь подозрения мучают, что этот пройдоха часть золота спёр, думая, что я не замечу!

— Как бы мне это проверить?

— Или просто казнить его на всякий случай!? А вдруг я зря наговариваю на человека?

— Ты же умный, придумай что-нибудь!

Архимед:

— Берем весы и проверяем: масса короны совпадает с массой золотого слитка?

— Нет? — Казнить ювелира!!!

— Хм… совпадает.

— А что если в золото подмешали другой металл, например, серебро? — тогда плотность короны будет отличаться от плотности золотого слитка!

(здесь химическая задача «вся ли корона из золота?» превращается в физическую задачу «плотность короны совпадает с плотностью слитка?»)

\rho = \frac{m}{V}

— Массу я знаю, а как найти объем короны? — она ж вон какой формы!

(а здесь мы от физической задачи переходим к геометрической: нам нужно вычислить объём короны!)

Эврика!!! Я придумал!

— Возьмём ванну в виде параллелепипеда

— Наполним её водой

— Погрузим корону в эту ванну

— Замерим на сколько поднимется в ней уровень воды

— Вычислим объём вытесненной воды!

— Это и будет объём короны!

(а здесь чтобы решить геометрическую задачу мы снова прыгнули в плоскость физики и вернулись оттуда уже с новой геометрической задачей)

Ювелир, услышав Архимеда:

— Кажется, пора делать ноги!!

Чтобы вычислить объём вытесненной воды, нужно умножить площадь основания ванны на высоту подъема воды:

V = S \cdot h

где $S$ — это площадь основания ванны, а $h$ — высота подъёма воды.

А если бы ванна была не прямоугольной, а цилиндрической, как бы мы вычисляли объем?

Тоже как $S \cdot h$ , только в случае цилиндрической ванны $S$ равнялась бы площади круга — основания ванны, то есть:

S = \pi \cdot R^2

где $R$ — радиус основания (круга), а $\pi = 3{,}1415926535\ldots$ — число Пи.