Todo es culpa de las dimensiones. O ¿qué tiene que ver el tipo de variable?

La vez pasada intentamos pesar a Pedro y a Juan sin tener una báscula a mano, y en un momento dado, usando un balancín, dijimos:

“[ahora] sabemos que Juan pesa más que Pedro, ¿pero cuánto más o cuántas veces más?”

Pero al final solo pudimos responder a la pregunta “¿cuántas veces pesa más Juan que Pedro?”, y no “cuánto más”.

¿Y por qué no pudimos responder “cuánto más”?

A quien le interese la definición oficial del término “dimensión”, puede leerla aquí. Mientras tanto, recordemos nuestro algoritmo para comprar comida.

¿Recuerdan que dijimos que para hacer el algoritmo más universal, necesitábamos definir parámetros de entrada (variables) que denotaran «qué comprar», «dónde comprar» y «cuánto dinero tenemos disponible»?

Y ya al final mencionamos de pasada que las variables no solo tienen un nombre, sino también un tipo, que define el rango de valores permitido.

Por ejemplo, en nuestro caso, la cantidad solo puede estar en pesos (o dólares); no puede especificarse en metros o kilogramos—es decir, tendría un tipo de dato Dinero.

(Nota: Por ahora no hablaremos de «qué comprar» y «dónde comprar»—estas variables probablemente serían sublistas de listas más grandes y predefinidas de productos y tiendas disponibles, lo cual es demasiado complejo para nuestro ejemplo).

Si tuviéramos otra variable, por ejemplo, la distancia máxima que podemos alejarnos de casa para buscar los comestibles, esta tendría un tipo de dato Distancia.

¿Se puede comparar una variable de tipo Dinero con una de tipo Distancia?

Obviamente no. Las variables de tipos diferentes no se pueden comparar entre sí, ni sumar, ni restar.

Pues bien, volviendo a Pedro y Juan. Miremos el esquema simplificado de cómo se colocaron en el balancín: en un extremo se sienta Pedro y en el otro, Juan.

Llamaremos a la distancia desde el centro de Pedro hasta el fulcro (punto de apoyo) $L_{\text{Pedro}}$ . Y a la distancia desde el centro de Juan hasta el fulcro, $L_{\text{Juan}}$ .

Denotaremos las masas supuestas de Pedro y Juan como $m_{\text{Pedro}}$ y $m_{\text{Juan}}$ respectivamente.

¿Qué nos dice la física? Que Juan es más pesado que Pedro en la misma proporción en que Pedro debe sentarse más lejos del fulcro que Juan (si queremos equilibrarlos).

Miren la fórmula en el dibujo: si dividen una $L$ entre otra $L$ , obtienen una cantidad adimensional como resultado—en nuestro caso, es $2$ . Esto responde a la pregunta: ¿cuántos segmentos de $L_{\text{Juan}}$ caben en el segmento $L_{\text{Pedro}}$ ? ¡Este $2$ no son $2\,\text{metros}$ , ni $2\,\text{centímetros}$ (y mucho menos $2\,\text{kilogramos}$ )! ¡Es simplemente $2$ !

De manera similar, si dividen una masa entre otra, también obtienen una cantidad adimensional.

Por eso podemos equiparar una razón con la otra—sus dimensiones resultantes coinciden, o, dicho en broma, su “adimensionalidad” 🙂, como sale en nuestro caso.

Volviendo a la pregunta planteada al inicio de nuestro mensaje anterior: “¿por qué no podemos decir cuánto [más pesa]?”.

¿Cómo lo haríamos? Solo tenemos $L_{\text{Pedro}}$ y $L_{\text{Juan}}$ . Cada una de estas distancias tiene dimensión $L$ : $\operatorname{dim} L_{\text{Pedro}} = \operatorname{dim} L_{\text{Juan}} = L$ . Si restamos una de la otra, el resultado conserva la misma dimensión.

Fíjense que cuando escribo $L$ , me refiero a la dimensión de longitud, por analogía con el tipo Longitud. ¡Si a una longitud le restas una longitud, obtienes una longitud!

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Por si acaso, hablemos de este momento con un poco más de detalle— $L_{\text{Pedro}}$ es un valor concreto, por ejemplo, $2\,\text{metros}$ . $L_{\text{Juan}}$ también es un valor concreto, por ejemplo, $1\,\text{metro}$ .

$$L_{\text{Pedro}} - L_{\text{Juan}} = 2\,\text{metros} - 1\,\text{metro} = 1\,\text{metro}$$

Y si hablamos de dimensiones, esta fórmula se vería así:

$$\operatorname{dim}(L_{\text{Pedro}} - L_{\text{Juan}}) = L$$

¡Porque no importa si sumas longitudes o las restas; el resultado sigue siendo una longitud! ¡Nunca obtendrás $M$ , la dimensión de masa!

Nota: Representaremos la dimensión de una cantidad mediante $\operatorname{dim}$ y usaremos letras mayúsculas para las dimensiones mismas: $L$ para la longitud y $M$ para la masa.

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Se podría decir que las dimensiones limitan nuestras posibilidades, pero en realidad, las dimensiones simplemente reflejan nuestra realidad.

Y lo principal, por lo que nos son útiles, es que con ellas podemos verificar que no nos hemos equivocado en nuestros cálculos, o en nuestro programa, si hablamos de tipos de variables.

Si en algún momento, al resolver un problema, de repente empiezas a restar metros de kilogramos—¡significa que se ha colado un error en alguna parte!

Si en un programa en algún momento empiezas a comparar dinero y distancia—¡significa que hay un error en tu programa!

¡Así es como las dimensiones y los tipos de variable nos protegen de errores!

Y antes de pasar a la densidad, aquí tienen un pequeño problema.

Para reflexionar

¿Qué necesitamos hacer para poder finalmente afirmar cuál es la masa de Juan?

La respuesta

¡Necesitamos convertir a Pedro en un patrón de referencia! Miren la proporción: si multiplicamos ambos lados de la ecuación por $m_{\text{Pedro}}$ , obtenemos que $m_{\text{Juan}} = 2 \cdot m_{\text{Pedro}}$ . Desde un punto de vista dimensional, esto se vería así:

$$\operatorname{dim} m_{\text{Juan}} = \frac{L}{L} \cdot M = M$$

Si supiéramos de antemano que Pedro pesa $30\,\text{kg}$ , entonces podríamos calcular que Juan pesa $60\,\text{kg}$ .

Vocabulario

• Dimensión: $L$ para la longitud, $M$ para la masa, …

• Cantidad adimensional

• Tipo de variable (o tipo de dato)